零的历史

有路德教会的牧师迈克尔·斯梯费尔（Michael　Stifel）：他因为试图揭开圣经中的数字的秘密而成为一名数学家，60年后丘凯明白了如何使用零和负指数。或许他知道如何去做——但我们只听到他说：“关于与数字有关的绝妙事情我可以写一整本书，但我必须避免而且闭上眼，听之任之。”　　　　
　　　　我们已经拿出了一碗牛奶给零，而且它已经长得结实了，它打算向我们揭示自己的秘密吗？不——但是可能有所转变。零发展成为一种给其他数字赋值的数字已经很久了。现在，在数学向抽象化和普遍性发展趋势的驱使下，它也正在转变为一种知识，给其他知识赋以价值。成为哪种知识呢？当然是零的知识。为了扮好角色，它最初将不得不伪装前行。


第三部分　费尽周折第24节　令人愉快的天使（2）

　　　　懂得蹲下　　　　
　　　　在我们还没有注意到的时候，零的伪装在装备上有了发展：查明数字大体特性的装备。因为数学是一种艺术，它的制造者热衷于为它演出创造新的场景——就象小说家把人物放在特定的背景下，通过人物行为展现情节（因为人物是“命中注定”的）。由于小说是我们现实情形的浓缩，这并不象听起来那么虚假：因为想要知道主人公怎样生活，你只能关注情节的变化。不管怎样，你可能会认为数学象天文学，以很大的尺寸移动，有庞大的数量和无休止的数字。　　　　
　　　　但是想象一下，一个小孩子吹出的浮在夏日空气中的肥皂泡。不管小还是大的，每个都是一个完整的世界，表面闪烁着象陆地一样班驳的色彩。一个数学家也能创造这样的肥皂泡世界：从一个点，然后循环回到原处。举例来说，如果把无穷大的宇宙压缩到0到11，这些数字会有什么奇异的举止呢？它们自身的更深层的真相也会在这个微观世界得到展示吗？做做加法：2＋3是5，1＋8等于9，但是6＋7呢？不可能是13，因为在这个世界中没有13。6＋7又等于1，因为经过一圈循环13与1重合。就好象我们在运用有相同间隔的从0到11的钟表进行数学运算。如果我们从1到12一个单位一个单位地移动数字进行计算，就成了我们熟悉的钟表。那就意味着在这个玩具房子一样的世界里，12扮演着0的角色：把它与任何数字相加，都得到这个数字本身。（3点以后的12个小时是3点，11＋12=11）　　　　
　　　　如果这作为一个太微不足道而不值一玩的游戏打动了你，那些令人吃惊的人，速算者将严肃地演绎它。他们能很快地告诉你一百万小时以后的时间。假如现在是上午10点，一百万个小时包含了很多个12小时，但是都不会有什么改变，减去这些个12，余下小于12的数目，就是正确的时间。一百万除以12，余数就会告诉你答案。由于余数是4，时间就是上午10点过4小时或者说下午2点。心算这个除法似乎不是一个小技巧。观察一下，100除以12余4，继续相除，得到一连串零，余数一直是4。只需要进行一次除法，我们就可以得出答案，是10＋4=14点或者下午2点。　　　　
　　　　如果今天是星期二，一百万年后的今天是星期几？在这里实际上7就是0，我们回到开始的一天。好象日子在一个标有从0到6的钟面上滴答而过，仍然是10　000　000除以7。商并不重要，但是余数重要，它是3，星期二之后三天是星期五，这就是答案。　　　　
　　　　17世纪的法国数学家是最先组织起来，而且研究这种闪光泡泡的欧洲人。但是玛雅人领先于他们很多，他们制定了复杂的历法，仅仅通过除以很大跨度的时间，13或者20或者别的他们基本时间周期的长度，得到的余数而完成历法的。所有的这些发明都有一个生物学依据，当我们让它自由发展的时候，我们的内部时钟都以24小时的生理节奏来运行，我们周围生物世界的每个和谐个体都有自己归于0的数字——这些不同旋转周期的齿轮充分啮合，才使整个生物个体继续下去，乃至进化。　　　　
　　　　这些缩小了的世界生动地展示了艺术是怎样从生活中抽象出来而数学又是怎样从艺术中抽象出来的。在法国人开始清楚地表达他们的闪亮小球之前两个世纪，德国和荷兰的木雕家用黄杨木造出精致而细小的山水画：罗德和她的女儿们；有狩猎野猪和兔子的精细场面；希巴女王拜见所罗门国王情形——每个都是手掌大小。在这些坚果壳上，表示数字的图画，任何一个整数都可以担当零的角色，这种做法给了我们关于重复现象问题的答案。　　　　
　　　　如果在所有这些以不同节奏脉动的“宇宙”之间，在关键的构造上的相似，将是一件精彩的事情。当我们重新审视指数而且看到它们在这些环境中令人吃惊的运作方式，问题便得具体化。例如，最新的密码学的核心领域。现在我们的旅程将把我们从“零”的知识带到“零知识”。　　　　
　　　　思考一下，我们提到的标有从0到6的　“七日钟”。从它们当中任意选择一个你喜欢的正数（象打牌作弊者所说的）——例如3，并且乘6次幂，即36=729。如果除以7，将没有余数，现在用729减去1得到728，除以7后依然没有余数：36…1在这个时钟上也是同样的0。试另外一个数字，例如2。26…1等于63，又是这个系统中的0，以1，4，5或6的任何一个数字的6次幂再减去1，你将得到同样的结果。　　　　
　　　　　　　　　
　　　　费马　　　　
　　　　这是一个特殊现象吗？因为使用了“七日钟”或者用作指数的6（＝7…1）才出现这样现象的吗？非常值得注意的是，答案是不。如果你使用有从0到4五个数字的时钟，每个数字乘4次幂减1，会回到0，比如34…1=80，除以5之后没有余数。为什么在这儿停顿？一个有从0到18的19个数字的钟，把上面的每个数的18次幂再减去1，再除以19都会得到0。（如218…1=262　143，等于19×13　792）不经过计算，我就能知道1322…1可以被23整除，而且（如果你真地想要阿基米德的庞大数字）　　　　
　　　　（273　889　154　767　432）1　111　111　111　111　111　110…1　　　　
　　　　可以被1　111　111　111　111　111　111整除。我们怎么能这么确信呢？因为法国律师，业余数学家皮埃尔·费马（Pierre　de　Fermat）的“费马最后定理”最近得到成功证明，这个定理在1640年提出，现在被称作“费马小定理”。如果我们认识到数字的搀杂性理解这个定理就简单得多。5，7，9，23和上面的庞然大物是质数——除1和自身没有其他的因数。任何一个质数（记做p），比它小的任意一个整数（记做a）的p…1次幂再减去1都可以被p整除，费马对这个定理进行了猜测和证明。　　　　
　　　　这么讲他的结论听起来太难以理解，而且太无实质内容。如果这么说会更生动一点：拿p除ap…1…1没有余数。或者这样更多地让你想起劝戒人的禅语，就把这个谜语放在一边，但是保留禅语嘲弄无知的本质：　　　　
　　　　在p的世界里，　　　　
　　　　你不能把ap…1去掉1　　　　
　　　　与什么也没有区别开来。　　　　
　　　　　看上去我们已经从用零的符号表示各种不同数字的时代，过渡到了用各种不同的数都可以代表零的时代（在它自己的泡泡里），关于费马小定理最令人眼花缭乱的一点是它不仅揭示了循环周期为p的世界中的共同特性，而且还有面对质数的令人胆寒的忽视。我们正在逐步接近零的知识：给出一个质数，我们无法知道怎样得到或预知相邻的另一个质数；我们知道这对所有的数学家都至关重要。但是它们的伙伴（如果它们有一个的话）总是躲避我们，虽然已经有很多人奉献了毕生精力。　　　　
　　　　这种忽视怎样增加了我们别的方面的知识呢？让我们抽取在各种时期数学上发生的5种不同方式。让你自己保持舒适，品尝一个蛋白稣饼，一盘布丁或者任意一种在伊丽莎白时代称做空盘子的起泡甜食。　　　　
　　　　据透露，编码人最近发明的一项几乎不可破解的密码，正是继续利用我们对质数的忽视。这个非常令人愉快的小把戏在这里被向各色人等公布，它看上去恰好是解码的关键。两个数字，n和e，当你的部门代理人想要向你传送关于鱼雷导向系统的详细说明书时，她仅仅用n和e对消息进行编码，只有你才能解开。那是为什么呢？因为e在n上遵循循环分布的方式，n是你们自己的两个秘密的很大的质数，我们称做p和q（“很大”这里指大约150位）。任何一个知道他们的人都能够破解这个消息。反间谍活动为什么不从n次幂这方面入手呢？因为n太大了，有些为300位之多，甚至是一系列最快的计算机也不能及时完成它。　　　　
　　　　不管怎样，在这个程中有一个症结存在，像在一个炖兔子的古老食谱中叙述的那样：“首先抓住你的兔子”。使用这个密码你同样必须找到两个大的质数，p和q。有无限多个质数，而我们只知道其中非常少的一丁点。但是费马和他的费马小定理帮助了我们。你知道如果p是质数，而a是小于p的任意自然数，那么ap…1…1在一个周期为p的循环中是0，这就意味着，如果ap…1…1在这个循环中不是零，则p不是质数！这就给你了一个找到想要的大的质数的途径。随机造出一个足够大的数字作为P的候选者，选择一个a，比如2，乘幂p…1次然后减1，这是计算机擅长做的一类事情，因此，让你的计算机做这个工作，而你可以再吃一块蛋白酥饼。把结果除以p，如果有余数，那么p不会是质数，再做第二次选择（你也可以把这种选择交给计算机来完成），再试试。　　　　
　　　　如果没有余数，p很可能是一个质数：它是合数的可能性不到1/1013；如果这个几率不能让你满意，用一个不同的a实验一下p，比如3。每一个“证人”a的成功验证（显示ap…1…1相当于0）都极大地改善这个几率。一旦感到满意时，以相同的方法找出一个q。现在使p和q相乘，自己记下他们而公布n和有联系的e，然后等待，这个除了你没有人能够阅读的编码的消息就上路了，游戏结束了（但是；不是你希望的快步舞曲）。　　　　
　　　　这里有第二个瓶子，装着“零知识的证据”：一个发现某人是否是他自称的人，虽然你自己不知道向他提问的问题的正确答案。在这样荒谬的情况下，略作停顿来品味一下酒的醇香。现在让我们作如下假设（按照神秘的传统），一个似是而非的陌生人声称他是双胞胎安（Ann）和安妮（Anne）失散已久的哥哥。作为被他们雇佣的律师，你不能花费自己的时间来区分她们，但是他应该能。那么，你让他坐在塞得满满的起居室中，让双胞胎之一进来，你问：“她是哪个？”他很快地说：“安”她确认了。她离开后你重复这个过程，“安”他说，又对了。你继续进行。让一个或另一个随机地进来。他一次次地猜对。你仍然不能区分出她们，但是大约三十次成功的认证之后，你知道这个家伙似是而非的几率不到10亿分之一，因为他不是一个陌生人。你使家庭重新团圆，收取佣金，安妮还是安把佣金递给了你？故事的含义是，虽然你既不知道双胞胎哪个是谁，对她们哥哥怎么区分一无所知，但是你知道“正确的事”。　　　　
　　　　拆开第三个瓶子：一个大酒瓶。由于容纳了太长，太错综复杂而不能检查的数学证明而不得不这么庞大。如果你想知道这是怎么回事——因为一个人的发明，另外的人可以随意跟随——理由是一些最近的证据包含了如此多的事例，而只有计算机能够一一核对，所以我们就会任凭它可能出现在逻辑、程序或执行上的错误的摆布。不管哪一个人能够运行，另外的人只要足够狡猾，就能进行检查。首先在于重写传说中的证据，这样可以找出几乎所有地方的错误，好象错误以一种审讯所惧怕的气势传播。然后你仅仅为计算机编程来随机抽取重写出的证明。如果没有找到矛盾之处，证明几乎是理所当然的可靠（把错误的几率，据一位专家说不到1015分之一）。在这方面，同一个专家偶然间宣称：“在一个SUN工作室中，关于氢原子大小的论证的一分钟的结果，如果用文字写出，可以填满我们已知的整个宇宙。你找不出一个更加引人入胜的例子来证明，思想的所及已经超越机器的掌握——以不知道错误是什么为代价来交换。　　　　
　　　　第四个瓶子是小的：里面盛着的大庄园的气息使你眩晕。这葡萄酒用一无所有挤出的，但是对事物的判定或者“是”或者“不是”，没有第三种可以假设的情况。如果你接受这个阿里士多德称呼的“排斥中立法则”，就可以接受“矛盾证明”，象你在73页证明“被零除是不可能的”的方法。例如使用这种证明方法来证?